二項係数の prefix sum（差分更新）（高速版）

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\(\displaystyle S(n,k)=\sum_{i=0}^{k-1}\binom ni\) を、直前のクエリから差分更新して求めます。右端を含みません。クエリは呼び出した順に処理します。

#include "lib/math/binomial_prefix_sum_incremental.hpp"

IncrementalBinomialPrefixSum<> sum(500000);
auto other = sum;
auto a = sum.query(5, 3); // 16
auto b = sum.query(6, 3); // 22
auto c = sum.query(6, 4); // 42
auto d = other.query(5, 2); // 6
auto e = sum.binom(5, 2); // 10

操作	内容・返り値	計算量
IncrementalBinomialPrefixSum<Mint>(max_n)	上限まで前計算。省略時は 0	\(O(N)\)
auto other = sum / other = sum	表を共有し、現在のクエリ状態をコピー。その後の状態は独立	\(O(1)\)
build(max_n)	このオブジェクトだけ表を作り直し、状態を初期化	\(O(N)\)
max_n()	前計算の上限	\(O(1)\)
query(n,k)	\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}\binom ni\)。右端を含まない	\(O(\lvert\Delta n\rvert+\lvert\Delta k\rvert)\)
binom(n,k)	\(\displaystyle\binom nk\) を Mint で返す。n < 0、k < 0、n < k なら 0	\(O(1)\)

Mint の既定は mint です。素数 mod の mod()・inv() と整数からの構築・加減乗算に対応する modint を指定できます。query の n は 0 以上 max_n 以下、max_n は非負で mod()・INT_MAX 未満とし、使用中に法を変更しないでください。k は std::int64_t で、内部で \([0,n+1]\) に切り詰めます。k <= 0 なら 0、k >= n+1 なら 2^n を Mint で返します。binom も、0 を返す範囲外引数を除き n <= max_n() とします。

build(max_n) は前計算と状態を作り直し、max_n() は前計算の上限を返します。初期状態は \((n,k)=(0,0)\) です。同じクエリは \(O(1)\)、離れたクエリほど更新量が増えます。

入力を読んでから、必要な最大の n をコンストラクタへ渡してください。include だけでは前計算しません。comb.hpp・COMB_MAX は不要で、通常の二項係数も binom(n,k) から取得できます。

複数の状態を使う場合は、上の auto other = sum のようにコピーすると階乗・逆階乗・2の累乗の表を共有できます。query はそれぞれ独立して動き、片方の build は他方の表や状態を変更しません。IncrementalBinomialPrefixSum<> first(n), second(n); と別々に構築した場合は、それぞれ前計算します。

行と右端が同じ方向へ動く部分は斜めの漸化式でまとめ、右端だけが1動く部分は二項係数を直接加減算します。任意順のクエリにも対応し、クエリの並べ替えは行いません。

max_n を \(N\) として、構築・build は \(O(N)\) 時間・空間と逆元計算1回、max_n() は \(O(1)\) です。

query は直前の状態との差を \(\Delta n,\Delta k\) として \(O(\lvert\Delta n\rvert+\lvert\Delta k\rvert)\) 時間・\(O(1)\) 追加空間です。

クエリ数を \(Q\)、差分の総和を \(D\) とすると全体は \(O(N+Q+D)\) 時間です。表を共有するオブジェクトが \(P\) 個なら、合計空間は \(O(N+P)\) です。コピーは \(O(1)\) 時間・追加空間、binom は \(O(1)\) 時間・追加空間です。

依存ライブラリ

• 二項係数の prefix sum の内部演算（高速版）
• 二項係数の prefix sum の差分更新部品
• modint998244353 の共通剰余演算
• modint998244353 の階乗・逆階乗生成
• modint998244353

コード

#ifndef BINOMIAL_PREFIX_SUM_INCREMENTAL_HPP
#define BINOMIAL_PREFIX_SUM_INCREMENTAL_HPP

#include "../components/binomial_prefix_core.hpp"
#include "../components/binomial_prefix_incremental_core.hpp"

template<class Mint = mint> class IncrementalBinomialPrefixSum : public binomial_prefix_detail::IncrementalPrefixSum<Mint, binomial_prefix_detail::Table<Mint>, std::is_same_v<Mint, mint>> {
	using Base = binomial_prefix_detail::IncrementalPrefixSum<Mint, binomial_prefix_detail::Table<Mint>, std::is_same_v<Mint, mint>>;

  public:
	explicit IncrementalBinomialPrefixSum(int max_n = 0) : Base(max_n) {}
};

#endif

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